2015年寧波大學理學院數學分析考研初試大綱

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本《數學分析》考試大綱適用于寧波大學數學相關專業碩士研究生入學考試。

一、本考試科目簡介：

《數學分析》是數學專業最重要的基礎課之一，是數學專業的學生繼續學習后繼課程的基礎，它的理論方法和內容既涉及到幾百年來分析數學的嚴謹性和邏輯性，又與現代數學的各個領域有著密切的聯系。是從事數學理論及其應用工作的必備知識。本大綱制定的的依據是①根據教育部頒發《數學分析》教學大綱的基本要求。②根據我國一些國優教材所講到基本內容和知識點。要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念基本理論，掌握研究分析領域的基本方法，基本上掌握數學分析的論證方法，具備較熟練的演算技能和初步的應用能力及邏輯推理能力。

二、考試內容及具體要求：

第1章實數集與函數

（1）了解實數域及性質

（2）掌握幾種主要不等式及應用。

（3）熟練掌握領域，上確界，下確界，確界原理。

（4）牢固掌握函數復合、基本初等涵數、初等函數及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章數列極限

（1）熟練掌握數列極限的定義。

（2）掌握收斂數列的若干性質（惟一性、保序性等）。

（3）掌握數列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。

第3章函數極限

（1）熟練掌握使用“ε-δ”語言，敘述各類型函數極限。

（2）掌握函數極限的若干性質。

（3）掌握函數極限存在的條件（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界）。

（4）熟練應用兩個特殊極限求函數的極限。

（5）牢固掌握無窮小（大）的定義、性質、階的比較。

第4章函數連續性

（1）熟練掌握在X0點連續的定義及其等價定義。

（2）掌握間斷點定以及分類。

（3）了解在區間上連續的定義，能使用左右極限的方法求極限。

（4）掌握在一點連續性質及在區間上連續性質。

（5）了解初等函數的連續性。

第5章導數與微分

（1）熟練掌握導數的定義，幾何、物理意義。

（2）牢固記住求導法則、求導公式。

（3）會求各類的導數（復合、參量、隱函數、冪指函數、高階導數（萊布尼茲公式））。

（4）掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算。

（5）深刻理解連續、可導、可微之關系。

第6章微分中值定理、不定式極限

（1）牢固掌握微分中值定理及應用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。

（2）會用洛比達法則求極限，（掌握如何將其他類型的不定型轉化為0/0型）。

第1-6章的重點與難點

（1）重點：①基本概念：極限、連續、可導、可微。②基本定理：單調有界，柯西準則，歸結原則，微分中值定理。③基本計算：求極限的方法與類型。

（2）難點：應用微分中值定理，證明問題，連續函數性質應用。

第7章導數應用

（1）掌握單調與符號的關系，并用它證明f(x)單調，不等式、求單調區間、極值等。

（2）利用判定凹凸性及拐點。

（3）了解凸函數及性質

（4）會求曲線各種類型的漸近線性。

（5）了解方程近似解的牛頓切線法。

第8章極限與連續（續）

（1）掌握下列基本概念：區間套、柯西列、聚點、予列。

（2）了解刻劃實數完備性的幾個定理的等階性，并掌握各定理的條件與結論。

（3）學會用上述定理證明其他問題，如連續函數性質定理等。 

第9章不定積分

（1）掌握原函數與不定積分的概念。

（2）記住基本積分公式。

（3）熟練掌握換元法、分部積分法。

（4）了解有理函數積分步驟，并會求可化為有理函數的積分。

第10章定積分

（1）掌握定積分定義、性質。

（2）了解可積條件，可積類。

（3）深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

（4）熟練計算定積分。

（5）掌握廣義積分收斂定義及判別法，會計算廣義積分。 

第11章定積分應用

（1)熟練計算各種平面圖形面積。

（2）會求旋轉體或已知截面面積的體積。

（3）會利用定積分求孤長、曲率、旋轉體的側面積。

（4）會用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。 

第12章數項級數

（1）掌握數項級數斂散的定義、性質。

（2）熟練掌握正項級數的斂、散判別法。

（3）掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。

第7-12章的重點、難點

（1）重點：導數的應用，積分法則，微積分基本定理，數項級數斂散判別，廣義積分斂散判別。

（2）難點：實數完備性定理及應用；定積分的可積性及可積極類的討論，定積分及數項級數的理論證明，廣義積分及數項級數斂散的阿貝爾，狄利克雷判別法。 

第13章函數列與函數項級數

（1）了解函數列與函數項級之間的關系，掌握函數列及函數項級數的一致收斂定義。

（2）掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法。

（3）函數列的極限函數，函數項級數的和函數性質。 

第14章冪級數

（1）熟練冪級數收斂域，收斂半徑，及和函數的求法。

（2）了解冪級數的若干性質。

（3）了解求一般任意階可微函數的冪級數展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數的馬克勞林展式。

（4）會利用間接法求一些初等函數的冪級數展式。 

第15章付里葉級數

（1）熟記付里葉系數公式，并會求之。

（2）掌握以2π為周期函數的付里葉展式。

（3）理解掌握定義在（0,1）上的函數可以展成余弦級數，正弦級數，一般付里葉級數。

（4）了解收斂性定理，并掌握，貝塞爾不等式，勒貝格引理等。

第16章多元函數極限與選擇

（1）了解平面點集的若干概念。

（2）掌握二元函數二重極限定義、性質。

（3）掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系。

（4）掌握二元連續函數的定義、性質。

（5）了解二元函數關于兩個變量全體連續與分別連續的關系。 

第17章多元函數微分學

（1）熟練掌握，可微，偏導的意義。

（2）掌握二元函數可微，偏導，連續以及偏導函數連續，概念之間關系。

（3）會計算各種類型的偏導，全微分。

（4）會求空間曲面的切平面，法線。空間曲線的法平面與切線。

（5）會求函數的方向導數與梯度。

（6）會求二元函數的泰勒展式及無條件極值。 

第18章隱函數定理及其應用

（1）掌握由一個方程確定的隱函數的條件，隱函數性質，隱函數的導數（偏導）公式。

（2）掌握由m個方程n個變元組成方程組，確定n-m個隱函數組的條件，并會求這n-m個隱函數對各個變元的偏導數。

（3）會求空間曲線的切線與法平面。

（4）會求空間曲面的切平面與法線。

（5）掌握條件極值的拉格朗日數乘法。 

第19章向量函數微分（一般了解）

第13-19章重點、難點

（1）重點：函數列、函數項級數一致收斂的判別，求冪級數的收斂域，和函數及其性質，冪級數展式，多元函數極限，連續、偏導、可微概念。計算部分：求各類偏導，全微分，求方向導數與梯度，求方程（組）確定隱函數（組）的偏導。應用部分；無條件極值，條件極值，曲線的切線與法平向，曲面的切平面與法線。

（2）難點：函數列與函數項級數一致收斂判別及性質，條件極值。 

第20章重積分

（1）了解二重積分，三重積分定義與性質。

（2）掌握二重積分的換序，變量代換的方法。

（3）了解三重積分的換序，會用球、柱、廣義球坐標進行代換計算三重積分。

（4）含參量正常積分的定義及性質。

（5）重積分應用：求曲面面積，轉動慣量，重心坐標等。 

第21章含參量非正常積分

（1）掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質。

（2）掌握含參量非正常積分一致收斂判別。

（3）會用積分號下求導、積分號下做積分方法計算一些定積分或廣義積分。

（4）了解歐拉積分，遞推公式及性質。 

第22章曲線積分與曲面積分

（1）熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計算方法。

（2）了解兩種曲線積分，兩種曲面積分關系。

（3）熟練運用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式計算。

（4）掌握積分與路徑無關的條件。

（5）了解場論初步知識，并會求梯度，散度，旋度。

第20-22章的重點和難點

（1）重點：二重積分換序，計算方法；曲線，曲面積分的計算。格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的應用，積分與路徑無關性質的應用。

（2）難點：含參量廣義積分的一致收斂判別，三重積分的換序，重積分的應用。 

三、題型分布：

填空題，選擇題，解答題，計算題，證明題，應用題。