2023年國(guó)防科技大學(xué)816實(shí)變函數(shù)碩士入學(xué)自命題科目考試大綱

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2023年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱

科目代碼：816   科目名稱：實(shí)變函數(shù)

一. 考試要求

主要考查學(xué)生對(duì)集與點(diǎn)集的理解與掌握；對(duì)Lebesgue測(cè)度的理解與掌握；對(duì)可測(cè)函數(shù)的理解與掌握；對(duì)Lebesgue積分的理解與掌握；以及運(yùn)用基本理論和方法，分析解決問(wèn)題的能力。

二、考試內(nèi)容

1．集與點(diǎn)集

掌握集合的各種運(yùn)算定律；理解映射的像、原像的概念及其運(yùn)算性質(zhì)；了解集的對(duì)等、勢(shì)的概念及其性質(zhì)，會(huì)證明可數(shù)集的基本問(wèn)題；掌握一維開集、閉集的性質(zhì)以及內(nèi)點(diǎn)、極限點(diǎn)、稠密性等若干概念；熟悉康脫集的構(gòu)造及性質(zhì)。

2．Lebesgue測(cè)度

理解外測(cè)度的概念與性質(zhì)，了解內(nèi)測(cè)度的定義，掌握可測(cè)集的定義；掌握可測(cè)集與測(cè)度的性質(zhì)；了解不可測(cè)集的存在性。

3．可測(cè)函數(shù)

理解可測(cè)函數(shù)的概念，掌握函數(shù)可測(cè)的證明方法；理解“幾乎處處”的概念；掌握幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂、近一致收斂的特征、性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系；理解Riesz定理與葉果洛夫定理，并掌握其證明方法；理解可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造，掌握魯津定理。

4．Lebesgue積分

理解Lebesgue積分的定義，掌握Lebesgue積分的基本性質(zhì)；掌握證明積分基本問(wèn)題的方法；掌握積分三大極限定理及其基本用法；了解函數(shù)常義R可積的充要條件，理解R積分與L積分的關(guān)系，并會(huì)用來(lái)計(jì)算一類R積分值與L積分值；理解單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)的性質(zhì)、掌握絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)、特征及應(yīng)用；掌握Lebesgue積分意義下的微積分基本定理。

三、考試形式

考試形式為閉卷、筆試，考試時(shí)間為3小時(shí)，滿分150分。

題型包括：填空題（約30分）、證明題（約100分）、計(jì)算題（約20分）。

四、參考書目

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》（第一冊(cè)）,鄭維行，王聲望 編．北京：高等教育出版社，2019年，第五版。