圖書簡介
本書介紹了微分拓撲、微分幾何以及微分方程的基本概念。本書的基本思想源于作者早期的《微分和黎曼流形》，但重點卻從流形的一般理論轉移到微分幾何，增加了不少新的章節。這些新的知識為Banach和Hilbert空間上的無限維流形做準備，但一點都不覺得多余，而優美的證明也讓讀者受益不淺。在有限維的例子中，討論了高維微分形式，繼而介紹了Stokes定理和一些在微分和黎曼情形下的應用。給出了Laplacian基本公式，展示了其在浸入和浸沒中的特征。書中講述了該領域的一些主要基本理論，如：微分方程的存在定理、唯一性、光滑定理和向量域流，包括子流形管狀鄰域的存在性的向量叢基本理論，微積分形式，包括經典2-形式的辛流形基本觀點，黎曼和偽黎曼流形協變導數以及其在指數映射中的應用，Cartan-Hadamard定理和變分微積分第一基本定理。目次：（第一部分）一般微分方程；微積分；流形；向量叢；向量域和微分方程；向量域和微分形式運算；Frobenius定理；（第二部分）矩陣、協變導數和黎曼幾何：矩陣；協變導數和測地線；曲率；二重切線叢的張量分裂；曲率和變分公式；半負曲率例子；自同構和對稱；浸入和浸沒；（第三部分）體積形式和積分：體積形式；微分形式的積分；Stokes定理；Stokes定理的應用；譜理論。
目錄
Foreword
Acknowledgments
PART Ⅰ General Differential Theory
CHAPTER Ⅱ Differential Calculus
1.Categories
2.Topological Vector Spaces
3.Derivatives and Composition of Maps
4.Integration and Taylor's Formula
5.The Inverse Mapping Theorem
CHAPTER Ⅱ Manifolds
1.Atlases, Charts, Morphisms
2.Submanifolds, Immersions, Submersions
3.Partitions of Unity
4.Manifolds with Boundary
CHAPTER Ⅲ Vector Bundles
1.Definition, Pull Backs
2.The Tangent Bundle
3.Exact Sequences of Bundles
4.Operations on Vector Bundles
5.Splitting of Vector Bundles
CHAPTER Ⅳ Vector Fields and Differential Equations
1.Existence Theorem for Differential Equations
2.Vector Fields, Curves, and Flows
3.Sprays
4.The Flow of a Spray and the Exponential Map
5.Existence of Tubular Neighborhoods
6.Uniqueness of Tubular Neighborhoods
CHAPTER Ⅴ Operations on Vector Fields and Differential Forms
1.Vector Fields, Differential Operators, Brackets
2.Lie Derivative
3.Exterior Derivative
4.The Poincare Lemma.
5.Contractions and Lie Derivative
6.Vector Fields and l-Forms Under Self Duality
7.The Canonical 2-Form
8.Darboux's Theorem
CHAPTER Ⅵ The Theorem ol Frobenius
1.Statement of the Theorem
2.Differential Equations Depending on a Parameter
3.Proof of the Theorem
4.The Global Formulation
5.Lie Groups and Subgroups
PART Ⅱ Metrics, Covariant Derivatives, and Riemannian Geometry
CHAPTER Ⅶ Metrics
1.Definition and Functoriality
2.The Hilbert Group
3.Reduction to the Hiibert Group
4.Hilbertian Tubular Neighborhoods
5.The Morse-Palais Lemma
6.The Riemannian Distance
7.The Canonical Spray
CHAPTER Ⅷ Covarlent Derivatives and Geodesics
1.Basic Properties
2.Sprays and Covariant Derivatives
3.Derivative Along a Curve and Parallelism
4.The Metric Derivative
5.More Local Results on the Exponential Map
6.Riemannian Geodesic Length and Completeness
CHAPTER Ⅸ curvature
1.The Riemann Tensor
2.Jacobi Lifts.
3.Application of Jacobi Lifts to Texp
4.Convexity Theorems.
5.Taylor Expansions
PART Ⅲ Volume Forms and Integration
Index
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