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華東師范數學大綱
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《線性代數》教學大綱
教學目的和要求： 線性代數是數學學科中的一門重要基礎課程，也是高等院校大部分專業的主要基礎理論課，對于培養面向21世紀人才起著重耍的作用。目前也是華東師范大學各專業的重要基礎課之一本課程主要學習線性代數中行列式，矩陣，n維向量和線性方程組，向量空間，矩陣的特征值和特征向量，二次型，線性變換的基本概念，基本計算及有關的計算方法。為適應培養面向21世紀人才的需要，要求學生比校系統理解線性代數的基本概念，基本理論，掌握線性代數的基本計算方法。要求較好地理解線性代數這門課的抽象理論，具有嚴謹邏輯推理能力，空間想象能力，運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。 教學基本內容和學時分配： 第一章:行列式 教學內容:行列式的定義，行列式的基本性質，行列式按行(列)展開定理，行列式的計算，克萊姆法則。教學要求:理解行列式的概念，掌握行列式的性質，會用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式，會用克萊姆法則解線性方程組。 第二章:矩陣 教學內容:矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法，方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉置，逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的等價，矩陣的秩，初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法，分塊矩陣及其運算。教學要求:理解矩陣的概念，了解單位矩陣，對角矩陣，數量矩陣，三角矩陣，對稱矩陣，正交矩陣，掌握矩陣的加法，數乘，乘法，轉置及它們的運算法則，了解方陣的方冪和方陣乘積的行列式。理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充要條件，會用伴隨矩陣求逆矩陣，了解矩陣的初等變換和初等矩陣的概念，理解矩陣秩的概念。掌握矩陣的初等變換，會用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣，了解分塊矩陣掌握分塊矩陣的運算法則。 第三章：n維向量與線性方程組 教學內容：向量的概念、向量的線性組合和線性表示、向量的線性相關與線性無關、向量組的極大線性無關組、等價向量組、向量組的秩、向量組的秩和矩陣的秩之間的關系、齊次線性方程組有非零解的充要條件、非齊次線性方程組有解的充要條件、線性方程組解的性質和解的結構、齊次線性方程組及基礎解系和通解，非齊次線性方程組的通解，行初等變換求線性方程組的方法。 教學要求：理解向量的概念、掌握向量的加法和數乘運算法則，理解向量的線性組合線性表示，向量組的線性相關線性無關的定義，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質和判別法。理解向量組的極大線性無關組和向量組秩的概念會求向量組的極大線性無關組及向量組的秩，了解向量組等價的概念，向量組的秩與矩陣秩的關系。理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，掌握非齊次線性方程有解和無解的判別方法。理解齊次線性方程組的基礎解系、通解的概念，掌握齊次線性方程組基礎解系的求法。理解非齊次線性方程組解的結構和通解的概念，掌握非齊次線性方程組通解的求法，掌握用行初等變換求解線性方程組的方法。 第四章 向量空間 教學內容：空間的基、維數與坐標，子空間，n維向量空間的基變換和坐標變換、過渡矩陣、向量的內積線性無關向量組的正交規范化方法，規范正交基、正交矩陣及其性質教學要求：了解集合、數域的概念，了解n維向量空間，子空間、基、維數，坐標的概念，掌握求n維向量空間的基和維數，判別子空間，了解基變換與坐標變換公式，會求過渡矩陣，理解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規范化的施密特（Schmidt）方法，了解規范正交基、正交矩陣的概念，以及它們的性質。 第五章 矩陣的特征值和特征向量 教學內容: 矩陣的特征值和特征向量的概念，性質及求法，相似變換，相似矩陣的概念及性質、矩陣可對角化的充要條件及相似對角矩陣，實對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣。教學要求理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質 掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法。理解相似矩陣的概念，性質及矩陣可相似對角陣的充要條件，掌握用相似變換化矩陣為對角陣的方法。了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，掌握用相似變換化實對稱矩陣為對角陣的方法。 第六章 二次型 教學內容：二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標準形與規范形、用矩陣的初等變換和配方法化二次型為標準型，正定二次型與正定矩陣及其判別法，用正交變換化二次型為標準形。教學要求：了解二次型的概念，掌握用矩陣表示二次型，了解二次型的秩，合同矩陣的概念，理解二次型的標準形、規范形概念以及慣性定理，掌握用矩陣的初等變換和配方法化二次為標準形。理解正定二次型與正定矩陣的概念，掌握正定二次型與正定矩陣判別法。掌握用正定矩陣化二次型為標準形的方法。 第七章 線性變換 教學內容：線性變換的概念及其運算，線性變換的性質，線性變換的矩陣，線性變換在不同基矩陣的關系，歐氏空間的正交變換與對稱變換。教學要求：了解線性變換的概念及其運算的法則，了解線性變換在基下的矩陣，掌握線性變換運算與矩陣運算的運算法則，了解線性變換在不同基下的矩陣關系，了解正交變換，對稱變換的概念及其性質。 《高等數學（B）》教學大綱 教學目的和要求：高等數學是高等院校大部分專業的一門重要基礎理論課，是深入學習專業課程的必備基礎。 隨著數學在各學科中的應用日夜廣泛，作為地理、環科、心理等專業的學生無論將來從事科研工作還是教學工作，都應該具備良好的數學基礎和靈活應用數學的能力。本課程主要學習一元函數和多元函數的微積分學，以及無窮級數和常微分方程的主要內容，是將來進一步學習專業知識的必備的數學基礎。為適應地理、環科等各類專業的特點和要求，使用本大綱應當遵循以下原則：強調基本概念的實際意義，而不追求概念的抽象性；強調基本理論的實際應用，而不追求理論的完備性；強調基本計算方法的實際操作，而不追求計算的技巧。 教學基本內容和學時分配： 第一章 函數（4學時） 教學內容 1、函數的概念 鄰域；函數及其表示法 2、具有某些特性的函數 有界函數；單調函數；奇函數與偶函數；周期函數。 3、初等函數 反函數；復合函數；初等函數 第二章 極限和連續（14學時） 教學內容 1、數列及其極限 2、自變量趨于無窮大時的函數極限 自變量趨于無窮大時的函數極限；數列極限 3、自變量趨于有限值時的函數極限 函數極限的定義；左、右極限；函數極限和數列極限的關系。 4、極限的性質 收斂數列的性質；函數極限的性質。 5、無窮小量，無窮大量和極限的運算法則 無窮小量；無窮大量；無窮小量的四則運算；極限的四則運算法則；極限的復合運算法則。 6、極限存在條件和兩個重要極限 數列極限存在條件；函數極限存在條件；兩個重要極限 7、無窮大量和無窮小量的比較 8、連續函數 函數的連續性；間斷點及其分類；連續函數的運算和初等函數的連續性。 9、閉區間上連續函數的性質 最大、最小值定理與有界性定理；介值定理與根的存在性定理 第三章 導數與微分（14學時） 教學內容 1、導數的定義 導數的定義；導函數；導數的幾何意義和物理意義；可導性與連續性的關系。 2、求導法則 導數的四則運算法則；反函數的導數；復合函數的導數；基本求導法則與導數基本公式 3、隱函數的導數；參變量函數的導數；平面曲線的切線和法線及其方程；導數的應用舉例 4、微分 微分的概念；微分的基本公式及運算法則；一階微分形式的不變性；微分在近似計算中的應用 5、高階導數 高階導數的概念；某些簡單函數的n階導數 第四章 微分中值定理與導數的應用（14學時） 教學內容 1、中值定理 羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理 2、不定式的極限 型與型 不定式的極限；其它類型不定式的極限 3、函數的單調性和極值 函數單調性的判別法；函數極值的判別法；函數的最大值和最小值及其簡單應用 4、函數圖象的討論 曲線的凸凹性與拐點；曲線的漸近線；函數作圖 5、曲率 曲率的概念；曲率半徑 6、方程的近似解（牛頓切線法） 第五章 不定積分（12學時） 教學內容 1、不定積分的概念與基本積分公式 原函數與不定積分；基本積分表；不定積分的性質 2、換元積分法 第一類換元積分法；第二類換元積分法 3、分部積分法 4、幾類特殊函數的不定積分 有理函數的不定積分；三角函數有理式的不定積分；某些簡單無理函數的不定積分 第六章 定積分（14學時） 教學內容 1、定積分的概念 定積分的定義；定積分的幾何意義 2、牛頓-萊布尼茲公式和定積分的性質 牛頓-萊布尼茲公式；定積分的性質；積分上限函數及其導數 3、定積分的換元積分法與分部積分法 4、定積分的近似計算 矩形法；梯形法；拋物線法 5、定積分的應用 平面圖形的面積；已知平行截面面積求立體體積和旋轉體的體積；平面曲線的弧長；旋轉曲面面積；定積分在物理學上的某些應用（變力作功，壓力，引力，函數的平均值）。 6、廣義積分 無限區間上的廣義積分；無界函數的廣義積分 第七章 無窮級數（22學時） 教學內容 1、數項級數的收斂性及其性質 無窮級數的概念；級數收斂的條件；收斂級數的性質 2、正項級數 正項級數的收斂準則；比較判別法；比值判別法和根式判別法 3、任意項級數 交錯級數及萊布尼茨判別法；任意項級數的絕對收斂和條件收斂；絕對收斂級數的性質 4、冪級數 函數項級數的收斂域與和函數的概念；冪級數及其收斂半徑、收斂區間和收斂域；冪級數在其收斂區間內的基本性質；簡單冪級數的和函數的求法 5、冪級數的應用 泰勒級數；泰勒中值定理；初等函數的冪級數展開；近似計算 第九章 多元函數微分法及其應用（18學時） 教學內容 1、多元函數 多元函數的概念；二元函數的幾何意義；二元函數的極限和連續的概念；有界閉區域上多元連續函數的性質 2、多元函數的偏導數與全微分 偏導數；二階偏導數；全微分；全微分在近似計算中的應用 3、復合函數和隱函數的微分法 復合函數的偏導數；一階全微分形式不變性；隱函數的微分法 4、方向導數與梯度 方向導數與梯度的概念及其計算 5、多元函數微分學的幾何應用 空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線 6、多元函數的泰勒公式與極值 二元函數的二階泰勒公式；多元函數的極值和條件極值的概念；多元函數極值的必要條件；二元函數極值的充分條件；極值的求法；拉格朗日乘數法；多元函數的最大值、最小值及其簡單應用 第十章 重積分及其應用（16學時） 教學內容 1、重積分的概念與性質 二重積分的概念、二重積分的性質；三重積分的概念和性質 2、二重積分的計算 化二重積分為累次積分；用極坐標計算二重積分 3、三重積分的計算 化三重積分為累次積分；用柱坐標變換計算三重積分；用球坐標變換計算三重積分 4、重積分的應用 曲面的面積；物體的重心 第十二章 常微分方程（18學時） 教學內容 1、一階微分方程 微分方程的一般概念；可分離變量型微分方程；齊次型微分方程；一階線性微分方程；貝努利方程；全微分方程 2、二階微分方程概念 可降階的高階微分方程；二階線性微分方程解的性質和解的結構定理 3、二階線性常系數微分方程 二階線性常系數齊次方程；二階線性常系數非齊次方程。 |
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