考研數(shù)學(xué) - 話題

　概率論與數(shù)理統(tǒng)計初步主要考查考生對研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的基本概念、基本理論和基本方法的理解，以及運用概率統(tǒng)計方法分析和解決實際問題的能力。

　　隨機事件和概率考查的主要內(nèi)容有：

　　（1）事件之間的關(guān)系與運算，以及利用它們進行概率計算；

　　（2）概率的定義及性質(zhì)，利用概率的性質(zhì)計算一些事件的概率；

　　（3）古典概型與幾何概型；

　　（4）利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計算概率；

　　（5）事件獨立性的概念，利用獨立性計算事件的概率；

　　（6）獨立重復(fù)試驗，伯努利概型及有關(guān)事件概率的計算。

　　要求考生理解基本概念，會分析事件的結(jié)構(gòu)，正確運用公式，掌握一些技巧，熟練地計算概率。

　　隨機變量及概率分布考查的主要內(nèi)容有：

　　（1）利用分布函數(shù)、概率分布或概率密度的定義和性質(zhì)進行計算；

　　（2）掌握一些重要的隨機變量的分布及性質(zhì)，主要的有：（0-1）分布、二項分布、泊松分布、幾何分布、超幾何分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布，會進行有關(guān)事件概率的計算；

　　（3）會求隨機變量的函數(shù)的分布。

　　（4）求兩個隨機變量的簡單函數(shù)的分布，特別是兩個獨立隨機變量的和的分布。

　　要求考生熟練掌握有關(guān)分布函數(shù)、邊緣分布和條件分布的計算，掌握有關(guān)判斷獨立性的方法并進行有關(guān)的計算，會求兩個隨機變量函數(shù)的分布。

　　隨機變量的數(shù)字特征考查的主要內(nèi)容有：

　　（1）數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)和計算；

　　（2）常用隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差；

　　（3）計算一些隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差；

　　（4）協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩的定義、性質(zhì)和計算；

　　要求考生熟練掌握數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)和計算，掌握由給出的試驗確定隨機變量的分布，再計算有關(guān)的數(shù)字的特征的方法，會計算協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩，掌握判斷兩個隨機變量不相關(guān)的方法。

　　大數(shù)定律和中心限定理考查的主要內(nèi)容有：

　　（1）切比雪夫不等式；

　　（2）大數(shù)定律；

　　（3）中心極限定理。

　　要求考生會用切比雪夫不等式證明有關(guān)不等式，會利用中心極限理進行有關(guān)事件概率的近似計算。

　　數(shù)理統(tǒng)計的基本概念考查的主要內(nèi)容有：

　　（1）樣本均值、樣本方差和樣本矩的概念、性質(zhì)及計算；

　　（2）χ2分布、t分布和F分布的定義、性質(zhì)及分位數(shù)；

　　（3）推導(dǎo)某些統(tǒng)計量的（特別是正態(tài)總體的某些統(tǒng)計量）的分布及計算有關(guān)的概率。

　　要求考生熟練掌握樣本均值、樣本方差的性質(zhì)和計算，會根據(jù)χ2分布、t分布和F分布的定義和性質(zhì)推導(dǎo)有關(guān)正態(tài)總體某些統(tǒng)計的計量的分布。

　　參數(shù)估計考查的主要內(nèi)容有：

　　（1）求參數(shù)的矩估計、極大似然估計；

　　（2）判斷估計量的無偏性、有效性、一致性；

　　（3）求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。

　　要求考生熟練地求得參數(shù)的矩估計、極大似然估計并判斷無偏性，會求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。

　　假設(shè)檢驗考查的顯著的主要內(nèi)容有：

　　（1）正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗；

　　（2）總體分布假設(shè)的χ2檢驗。

　　要求考生會進行正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗和總體分布假設(shè)的χ2檢驗。

　　常有的題型有：填空題、選擇題、計算題和證明題，試題的主要類型有：

　　（1）確定事件間的關(guān)系，進行事件的運算；

　　（2）利用事件的關(guān)系進行概率計算；

　　（3）利用概率的性質(zhì)證明概率等式或計算概率；

　　（4）有關(guān)古典概型、幾何概型的概率計算；

　　（5）利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計算概率；

　　（6）有關(guān)事件獨立性的證明和計算概率；

　　（7）有關(guān)獨重復(fù)試驗及伯努利概率型的計算；

　　（8）利用隨機變量的分布函數(shù)、概率分布和概率密度的定義、性質(zhì)確定其中的未知常數(shù)或計算概率；

　　（9）由給定的試驗求隨機變量的分布；

　　（10）利用常見的概率分布（例如（0-1）分布、二項分布、泊松分布、幾何分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等）計算概率；

　　（11）求隨機變量函數(shù)的分布（12）確定二維隨機變量的分布；

　　（13）利用二維均勻分布和正態(tài)分布計算概率；

　　（14）求二維隨機變量的邊緣分布、條件分布；

　　（15）判斷隨機變量的獨立性和計算概率；

　　（16）求兩個獨立隨機變量函數(shù)的分布；

　　（17）利用隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)、公式，或利用常見隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差求隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差；

　　（18）求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

　　（19）求兩個隨機變量的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性；

　　（20）求隨機變量的矩和協(xié)方差矩陣；

　　（21）利用切比雪夫不等式推證概率不等式；

　　（22）利用中心極限定理進行概率的近似計算；

　　（23）利用t分布、χ2分布、F分布的定義、性質(zhì)推證統(tǒng)計量的分布、性質(zhì)；

　　（24）推證某些統(tǒng)計量（特別是正態(tài)總體統(tǒng)計量）的分布；

　　（25）計算統(tǒng)計量的概率；

　　（26）求總體分布中未知參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量；

　　（27）判斷估計量的無偏性、有效性和一致性；

　　（28）求單個或兩個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間；

　　（29）對單個或兩個正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)進行顯著性檢驗；

　　（30）利用χ2檢驗法對總體分布假設(shè)進行檢驗。

　　這一部分主要考查概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、基本性質(zhì)和基本理論，考查基本方法的應(yīng)用。對歷年的考題進行分析，可以看出概率論與數(shù)理統(tǒng)計的試題，即使是填空題和選擇題，只考單一知識點的試題很少，大多數(shù)試題是考查考生的理解能力和綜合應(yīng)用能力。要求考生能靈活地運用所學(xué)的知識，建立起正確的概率模型，綜合運用極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、極值、積分、廣義積分以及級數(shù)等知識去解決問題。

　　在解答這部分考題時，考生易犯的錯誤有：

　　（1）概念不清，弄不清事件之間的關(guān)系和事件的結(jié)構(gòu)；

　　（2）對試驗分析錯誤，概率模型搞錯；

　　（3）計算概率的公式運用不當(dāng)；

　　（4）不能熟練地運用獨立性去證明和計算；

　　（5）不能熟練掌握和運用常用的概率分布及其數(shù)字特征；

　　（6）不能正確應(yīng)用有關(guān)的定義、公式和性質(zhì)進行綜合分析、運算和證明。

　　綜合歷年考生的答題情況，得知概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題的得分率在0.3左右，區(qū)分度一般在0.40以上。這表明試題既有一定的難度，又有較高的區(qū)分度。

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