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線性代數要記住的結論
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線性代數要記住的結論
1、行列式 1. 行列式共有 個元素，展開后有 項，可分解為 行列式； 2. 代數余子式的性質： ①、 和 的大小無關； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數余子式為0； ③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數余子式為 ； 3. 代數余子式和余子式的關系： 4. 設 行列式 ： 將 上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為 ，則 ； 將 順時針或逆時針旋轉 ，所得行列式為 ，則 ； 將 主對角線翻轉后（轉置），所得行列式為 ，則 ； 將 主副角線翻轉后，所得行列式為 ，則 ； 5. 行列式的重要公式： ①、主對角行列式：主對角元素的乘積； ②、副對角行列式：副對角元素的乘積 ； ③、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積； ④、 和 ：副對角元素的乘積 ； ⑤、拉普拉斯展開式： 、 ⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積； ⑦、特征值； 6. 對于 階行列式 ，恒有： ，其中 為 階主子式； 7. 證明 的方法： ①、 ； ②、反證法； ③、構造齊次方程組 ，證明其有非零解； ④、利用秩，證明 ； ⑤、證明0是其特征值； 2、矩陣 1. 是 階可逆矩陣： （是非奇異矩陣）； （是滿秩矩陣） 的行（列）向量組線性無關； 齊次方程組 有非零解； ， 總有唯一解； 與 等價； 可表示成若干個初等矩陣的乘積； 的特征值全不為0； 是正定矩陣； 的行（列）向量組是 的一組基； 是 中某兩組基的過渡矩陣； 2. 對于 階矩陣 ： 無條件恒成立； 3. 4. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和； 5. 關于分塊矩陣的重要結論，其中均 、 可逆： 若 ，則： Ⅰ、 ； Ⅱ、 ； ②、 ；（主對角分塊） ③、 ；（副對角分塊） ④、 ；（拉普拉斯） ⑤、 ；（拉普拉斯） 3、矩陣的初等變換與線性方程組 1. 一個 矩陣 ，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的： ； 等價類：所有與 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣； 對于同型矩陣 、 ，若 ； 2. 行最簡形矩陣： ①、只能通過初等行變換獲得； ②、每行首個非0元素必須為1； ③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0； 3. 初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換） ①、 若 ，則 可逆，且 ； ②、對矩陣 做初等行變化，當 變為 時， 就變成 ，即： ； ③、求解線形方程組：對于 個未知數 個方程 ，如果 ，則 可逆，且 ； 4. 初等矩陣和對角矩陣的概念： ①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣； ②、 ，左乘矩陣 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； ③、對調兩行或兩列，符號 ，且 ，例如： ； ④、倍乘某行或某列，符號 ，且 ，例如： ； ⑤、倍加某行或某列，符號 ,且 ，如： ； 5. 矩陣秩的基本性質： ①、 ； ②、 ； ③、若 ，則 ； ④、若 、 可逆，則 ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩） ⑤、 ；（※） ⑥、 ；（※） ⑦、 ；（※） ⑧、如果 是 矩陣， 是 矩陣，且 ，則：（※） Ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解（轉置運算后的結論）； Ⅱ、 ⑨、若 、 均為 階方陣，則 ； 6. 三種特殊矩陣的方冪： ①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量） 行矩陣（向量）的形式，再采用結合律； ②、型如 的矩陣：利用二項展開式； 二項展開式： ； 注：Ⅰ、 展開后有 項； Ⅱ、 Ⅲ、組合的性質： ； ③、利用特征值和相似對角化： 7. 伴隨矩陣： ①、伴隨矩陣的秩： ； ②、伴隨矩陣的特征值： ； ③、 、 8. 關于 矩陣秩的描述： ①、 ， 中有 階子式不為0， 階子式全部為0；（兩句話） ②、 ， 中有 階子式全部為0； ③、 ， 中有 階子式不為0； 9. 線性方程組： ，其中 為 矩陣，則： ①、 與方程的個數相同，即方程組 有 個方程； ②、 與方程組得未知數個數相同，方程組 為 元方程； 10. 線性方程組 的求解： ①、對增廣矩陣 進行初等行變換（只能使用初等行變換）； ②、齊次解為對應齊次方程組的解； ③、特解：自由變量賦初值后求得； 11. 由 個未知數 個方程的方程組構成 元線性方程： ①、 ； ②、 （向量方程， 為 矩陣， 個方程， 個未知數） ③、 （全部按列分塊，其中 ）； ④、 （線性表出） ⑤、有解的充要條件： （ 為未知數的個數或維數） 4、向量組的線性相關性 1. 個 維列向量所組成的向量組 ： 構成 矩陣 ； 個 維行向量所組成的向量組 ： 構成 矩陣 ； 含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應； 2. ①、向量組的線性相關、無關 有、無非零解；（齊次線性方程組） ②、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組） ③、向量組的相互線性表示 是否有解；（矩陣方程） 3. 矩陣 與 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組 和 同解；( 例14) 4. ；( 例15) 5. 維向量線性相關的幾何意義： ①、 線性相關 ； ②、 線性相關 坐標成比例或共線（平行）； ③、 線性相關 共面； 6. 線性相關與無關的兩套定理： 若 線性相關，則 必線性相關； 若 線性無關，則 必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶） 若 維向量組 的每個向量上添上 個分量，構成 維向量組 ： 若 線性無關，則 也線性無關；反之若 線性相關，則 也線性相關；（向量組的維數加加減減） 簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定； 7. 向量組 （個數為 ）能由向量組 （個數為 ）線性表示，且 線性無關，則 (二版 定理7)； 向量組 能由向量組 線性表示，則 ；（ 定理3） 向量組 能由向量組 線性表示 有解； （ 定理2） 向量組 能由向量組 等價 （ 定理2推論） 8. 方陣 可逆 存在有限個初等矩陣 ，使 ； ①、矩陣行等價： （左乘， 可逆） 與 同解 ②、矩陣列等價： （右乘， 可逆）； ③、矩陣等價： （ 、 可逆）； 9. 對于矩陣 與 ： ①、若 與 行等價，則 與 的行秩相等； ②、若 與 行等價，則 與 同解，且 與 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性； ③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； ④、矩陣 的行秩等于列秩； 10. 若 ，則： ①、 的列向量組能由 的列向量組線性表示， 為系數矩陣； ②、 的行向量組能由 的行向量組線性表示， 為系數矩陣；（轉置） 11. 齊次方程組 的解一定是 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； ①、 只有零解 只有零解； ②、 有非零解 一定存在非零解； 12. 設向量組 可由向量組 線性表示為：（ 題19結論） （ ） 其中 為 ，且 線性無關，則 組線性無關 ；（ 與 的列向量組具有相同線性相關性） （必要性： ；充分性：反證法） 注：當 時， 為方陣，可當作定理使用； 13. ①、對矩陣 ，存在 ， 、 的列向量線性無關；（ ） ②、對矩陣 ，存在 ， 、 的行向量線性無關； 14. 線性相關 存在一組不全為0的數 ，使得 成立；（定義） 有非零解，即 有非零解； ，系數矩陣的秩小于未知數的個數； 15. 設 的矩陣 的秩為 ，則 元齊次線性方程組 的解集 的秩為： ； 16. 若 為 的一個解， 為 的一個基礎解系，則 線性無關；（ 題33結論） 5、相似矩陣和二次型 1. 正交矩陣 或 （定義），性質： ①、 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即 ； ②、若 為正交矩陣，則 也為正交陣，且 ； ③、若 、 正交陣，則 也是正交陣； 注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化； 2. 施密特正交化： ； ; 3. 對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關； 對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交； 4. ①、 與 等價 經過初等變換得到 ； ， 、 可逆； ， 、 同型； ②、 與 合同 ，其中可逆； 與 有相同的正、負慣性指數； ③、 與 相似 ； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若 為正交矩陣，則 ，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）； 6. 為對稱陣，則 為二次型矩陣； 7. 元二次型 為正定： 的正慣性指數為 ； 與 合同，即存在可逆矩陣 ，使 ； 的所有特征值均為正數； 的各階順序主子式均大于0； ；(必要條件) |
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